数学探究：向量法研究三角形性质—

课程引入

理论基础

向量法演示

探究活动

总结拓展

向量工具在几何研究中的突破性作用

三角形是最简单的形状，但它却包含了无限的可能性。向量作为几何与代数的桥梁，为我们研究三角形性质提供了全新的视角和方法。

数学探究活动步骤：

发现并提出有探究意义的数学问题
合理猜测可能的数学结论
提出解决问题的思路和方案
运用所学数学知识，通过自主探索、合作研究等方式论证所提数学结论

向量法理论基础

向量法研究几何问题的核心步骤：

几何问题 → 向量化建模 → 向量运算推导 → 几何结论翻译

平面向量基本定理

如果\( \vec{e}_1, \vec{e}_2 \)是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量\( \vec{a} \)，有且只有一对实数\( \lambda_1, \lambda_2 \)，使：

\[ \vec{a} = \lambda_1 \vec{e}_1 + \lambda_2 \vec{e}_2 \]

三点共线的向量条件

对于点A、B、C，若存在实数\( \lambda \)使得：

\[ \overrightarrow{AB} = \lambda \overrightarrow{AC} \]

则A、B、C三点共线。

向量法证明示例

勾股定理的向量法证明

设直角三角形ABC，∠C=90°，则：

\( \overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} = 0 \)

\( \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CB} - \overrightarrow{CA} \)

\( |\overrightarrow{AB}|^2 = (\overrightarrow{CB} - \overrightarrow{CA}) \cdot (\overrightarrow{CB} - \overrightarrow{CA}) \)

\( = |\overrightarrow{CB}|^2 + |\overrightarrow{CA}|^2 - 2\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} \)

\( = |\overrightarrow{CB}|^2 + |\overrightarrow{CA}|^2 \)

向量法优势

向量法通过代数运算解决几何问题，避免了复杂的几何构造，具有普适性和简洁性。

三角形重心的向量法研究

用向量法证明三角形三条中线交于一点（重心）。

总结与拓展探究

向量法三步骤：

几何问题向量化建模
向量运算推导
几何结论翻译

数学探究四环节：

选题：确定研究问题和方向
开题：制定研究计划和方案
做题：实施研究和论证
结题：总结成果和撰写报告

数学探究：向量法研究三角形性质——中线和重心

向量工具在几何研究中的突破性作用

数学探究活动步骤：

向量法理论基础

平面向量基本定理

三点共线的向量条件

向量法证明示例

勾股定理的向量法证明

向量法优势

三角形重心的向量法研究

重心向量证明步骤：

重心性质结论：

总结与拓展探究

向量法三步骤：

数学探究四环节：

拓展探究课题：

垂心研究提示：

内心研究提示：

外心研究提示：

向量工具在几何研究中的突破性作用

数学探究活动步骤：

向量法理论基础

平面向量基本定理

三点共线的向量条件

向量法证明示例

勾股定理的向量法证明

向量法优势

三角形重心的向量法研究

重心向量证明步骤：

重心性质结论：

总结与拓展探究

向量法三步骤：

数学探究四环节：

拓展探究课题：

垂心研究提示：

内心研究提示：

外心研究提示：

几何发展简史

向量在几何中的应用