一元线性回归模型
一元线性回归模型描述了两个变量之间的线性关系，其中一个变量(自变量)用于预测另一个变量(因变量)。
y = a + bx + ε
其中:
- y: 因变量(被预测变量)
- x: 自变量(预测变量)
- a: 截距(当x=0时y的值)
- b: 斜率(x每增加1单位y的变化量)
- ε: 随机误差项
最小二乘法
最小二乘法通过最小化残差平方和来估计回归系数a和b:
b = Σ[(xᵢ - x̄)(yᵢ - ȳ)] / Σ(xᵢ - x̄)²
a = ȳ - bx̄
模型评估
常用评估指标:
- 相关系数r: 衡量线性关系强度和方向(-1到1)
- 决定系数R²: 解释变量x对y变异的解释比例(0到1)
实际应用案例
1. 身高与体重关系
研究青少年身高与体重的关系，建立回归方程预测体重。
体重 = a + b×身高
2. 学习时间与考试成绩
分析学生每周学习时间与期末考试成绩的关系。
成绩 = a + b×学习时间
3. 广告投入与销售额
企业分析广告投入与产品销售额的线性关系。
销售额 = a + b×广告投入
4. 温度与冰淇淋销量
冷饮店研究日最高温度与冰淇淋销量的关系。
销量 = a + b×温度